A continuacón tienen libro guia con el cual pueden tener la teoria y algunos ejemplos resueltos.
UNIDAD DIDÁCTICA DE MATEMÁTICAS - GRADO
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TEMA: FUNCIONES
Conocimientos previos:
Conjuntos numéricos, números reales y la recta real, desigualdades,
intervalos, inecuaciones, valor absoluto, solución de ecuaciones lineales y
cuadráticas, factorización, función, dominio, rango, representación grafica
en el plano cartesiano.
Serán trabajados en un tiempo de seis semanas. Trabajados así: Temas serán
trabajados por sesiones, una sesión con un tiempo de 4 horas por semana.
Usaremos ese libro para resolver los talleres y revisar la teoría. Son
los mismos que están en la institución.
Algunos ejemplos fueron tomados de la siguiente página, en ella
encontraras mas ejemplos y temas para complementar.
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OBJETIVOS:
Reconocer la importancia del concepto de función dentro de la
matemática y su utilización para modelar situaciones de la vida diaria.
Analizar las relaciones y propiedades entre las expresiones
algebraicas de las gráficas de algunas funciones.
Reconocer las propiedades de diferentes tipos de funciones
Realizar operaciones entre funciones y construir gráficas.
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CONTENIDOS DE APRENDIZAJE:
Se tiene en cuenta los temas trabajados en el primer periodo que son
aplicados en todos los temas de esta unidad, también los temas de años
anteriores como son: factorización, operaciones entre los números reales como
suma, diferencia, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Para tener una comprensión de los temas se desarrollarán las
explicaciones pertinentes y se apoyara en talleres para una ejercitación de
las temáticas. Se complementan con videos los cuales serán una manera de
complementar las explicaciones.
La actitud frente al trabajo en clase será tenidos presentes al
momento de evaluar la asignatura.
Mostrar responsabilidad y respeto. Colaborar entre los compañeros que
presentes dificultades y preguntar en las clases para aclarar dudas y que
sirva de apoyo para todo el grupo.
Actuar de manera honesta en la presentación de trabajos y
evaluaciones.
Entregarán los ejercicios que sean asignados, los demás serán de
ejercitación.
LAS FUNCIONES REALES: (sección 1 y 2- 4 horas semanales, total 8 horas)
Los siguientes videos apoyan la teoría descrita a continuación.
https://www.youtube.com/watch?v=AoZpzAoC1Qg, https://www.youtube.com/watch?v=4cP5oXkv7BM
función lineal explicación de un ejercicio.
https://www.youtube.com/watch?v=A7OrJ8IlIeE,
función cuadrática.
Puntos de corte con los ejes. Signo de una función.
Apoyarse en el libro pagina 34, para la teoría.
Los puntos de corte de una función f con el eje x, se realiza
hallando f(x) = 0 y el unto de corte con el eje y, se realiza halando f(0)
EJEMPLO:
Determina
los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones:
a)
y = 2x - 1 b) y = 5 - x
Signo de una función o
intervalos de signo constante
Para representar gráficamente
una función es útil saber en qué intervalos su gráfica está por encima o por
debajo del eje X.
• Si la gráfica va por encima: f(x) > 0 • Si va por debajo: f(x) < 0
Para ello, se deben hallar los puntos de corte de la función con
el eje X y los puntos de discontinuidad. Después se estudia el signo de la
función en los distintos intervalos en que ha quedado dividido dicho eje.
Ejemplo de signo de una función
Hallar los puntos de corte con los ejes y el signo de la
función:
Corte con el eje X:
El punto de corte con el eje X
es: (2 , 0)
x-5 no
puede ser cero. En x=5 es una discontinuidad.
Corte con el eje Y:
El punto de corte con el eje Y
es: (0 , 2/5)
Signo de f(x):
Calculamos las raíces del numerador y del denominador:
x - 2 =
0 ⇔ x
= 2
x - 5 = 0 ⇔ x
= 5
Estudiamos el signo de la función en los intervalos:
(-∞
, 2) , (2 ,
5) , (5 , ∞)
• (-∞ , 2): x =
0 ⇒ x
- 2 = - 2 < 0
x
- 5 = - 5 < 0
• (2 , 5): x
= 3 ⇒ x
- 2 = 3 - 2 = 1 > 0
x
- 5 = 3 - 5 = - 2 <
0
• (5 , ∞): x = 6 ⇒ x - 2 = 6 - 2 = 4 > 0
x
- 5 = 6 - 5 = 1 > 0
Observando la tabla se deduce que: • f está por encima del eje X en: (-∞ , 2) ∪ (5 , ∞)
• f está
por debajo del eje X en: (2 , 5)
SIMETRÍA
Libro virtual: Página 36.
https://www.youtube.com/watch?v=UlD9kTKo7c8.
Ver el video explicativo.
https://www.youtube.com/watch?v=kabnjBXPsWU.
Ver el video explicativo.
Funciones pares
Una función f es simétrica
respecto al eje de ordenadas (Y) si verifica que:
Las funciones simétricas respecto al eje de ordenadas se
denominan funciones pares.
f(- x) = (- x)2 - 5 = x2 - 5
f(- x) = f(x)
Por lo tanto se cumple la condición de función par.
Funciones impares
Una función f es simétrica
respecto al origen de coordenadas si verifica que:
Las funciones simétricas respecto al origen de coordenadas
se denominan funciones impares.
f(- x) = (- x)3 + 2·(- x) = - x3 -
2x = - (x3 + 2x)
f(- x) = - f(x)
Por lo tanto se cumple la condición de función impar. Función que no es par ni impar
La función f(x) = x2 - 3x no
es ni par ni impar, puesto que:
f(- x) = (- x)2 - 3·(- x) = x2 +
3x , por lo tanto f(- x) ≠ ± f(x)
Funciones polinómicas
Libro virtual página 38.
Apoyarse en los ejemplos del libro, páginas
38;39.
En la pagina 40 hay un ejemplo que lo pueden
desarrollar aplicando
GeoGebra, lo pueden descargar y usar. Para una
mayor comprensión.
Son aquellas definidas de la forma f(x) = Expresión algebraica en x.
una regla determinada por expresiones como:
Función polinómica: Constante, lineal, cuadrática, polinómica general.
La forma general de una función
polinómica de grado n ∈ N es f(x) = a0 + a1x1+
a2x2+…+anxn, con an≠0.
Ejemplo:
Función constante: y = f(x) = k, es un numero real fijo, esta
función asigna a cada valor de x la misma imagen k.
Ejemplo:
f(x) siempre toma el valor de 2, por eso es una recta horizontal,
mientras que los valores de x son todos los números reales.
Función lineal: , donde m y n son números reales
fijos.
Los números reales m es la pendiente de la recta y n es el intercepto
con el eje y.
RecErdar que para graficar la línea recta basta con hallar dos puntos.
ejemplo
Función cuadrática
,
Donde a, b, c son números reales
y a diferente de cero.
La gráfica es una parábola. Tiene forma
de ∪ si a>0 y
forma de ∩ si a<0.
Una función cuadrática corta al
eje de ordenadas (eje
y) en el punto (0,c).
Puede cortar al eje de abscisas
en dos, uno o ningún punto, dependiendo del número de soluciones reales de la
ecuación cuadrática asociada, ax2+bx+c =
0
El cociente permite localizar las abscisa del
vértice de la parábola, es decir :
Toda función cuadrática presenta
un extremo absoluto (máximo o mínimo) en
Ejemplo
El punto de corte con el eje de ordenadas es (0,−1). El
vértice de la parábola también es (0,−1).
Los puntos de corte con el eje de abscisas son (−1,0) y(1,0). Observad que las primeras coordenadas
son x=−1 y x=1, que son
las soluciones de la ecuación cuadrática x2-1=0
Problema
1
Hallar una función cuadrática, f, que corte al eje de abscisas en los puntos A=(1,0) y B=(2,0) y
una función lineal, g, que pase por el punto B y por el punto de corte de f con
el eje de ordenadas.
La siguiente función cuadrática
tiene los puntos de corte A y B:
Corta al eje de ordenadas en el
punto
Para hallar una función lineal
que pase por el punto B y
el punto (0,2), sólo
tenemos que sustituir las coordenadas de estos puntos en la forma general de
la función y resolver el sistema:
La solución del sistema es n=2n=2 y m=−1m=−1, así que se trata de la recta
Gráficas:
Problema
2
La forma canónica de una ecuación cuadrática es
siendo (h,k)) el punto de su vértice.
Hallar la forma canónica de la siguiente función:
Los coeficientes son a=2, b=−8 y c=3
La primera coordenada del vértice
es
Calculamos la segunda coordenada:
El vértice es (2,−5)
Por tanto, la forma canónica es
FUNCIONES
POLINÓMICAS MAYOR QUE 2.
Ejemplo
Los puntos de corte con el eje de abscisas son (0,0) y (1,0).
El punto de corte con el eje de ordenadas es (0,0).
FUNCIONES
RACIONALES.
https://www.youtube.com/watch?v=4PWf27vLNQs.
Ver video.
Cuando se hace la gráfica de una función racional es
importante saber:
§ ¿Qué se puede decir de los
valores de la función cuando x se acerca a un cero del denominador?
§ ¿Qué se puede decir de los
valores de la función cuando x es grande y positiva o negativa?
Asíntota
vertical
La recta x =
a es una asíntota vertical de la gráfica de una función si f (x) –> ∞
o f (x) –> -∞
cuando x tiende a a.
Asíntota
horizontal
La recta y =
c es una asíntota horizontal de la gráfica de una función si f (x) –> c cuando
x –> ∞ o cuando x –> -∞
Funciones
racionales (sección 3 y 4- 4 horas semanales, total 8 horas)
Funciones trascendentes:
(sección 5 y 6- 4 horas
semanales, total 8 horas)
Función exponencial, logarítmica, trigonométricas
Funciones exponenciales
Las funciones
exponenciales son las funciones que tienen la variable
independiente x en el exponente, es decir,
son de la forma:
Las características generales de las funciones exponenciales son:
1) El
dominio de una función exponencial es R.
2) Su
recorrido es (0, +∞).
3) Son funciones continuas.
4) Como a0 = 1, la función siempre pasa por el punto (0, 1). La función corta el eje Y en el punto (0, 1) y no corta el eje X.
5) Como a1 = a, la
función siempre pasa por el punto (1, a).
6) Si a
> 1 la función es creciente.
Si 0 < a < 1 la función es decreciente.
Son
siempre concavas.
8) El
eje X es una asíntota horizontal.
·
Si a > 1:
Al elevar un número mayor que 1 a cantidades negativas cada vez más grandes, el valor de la potencia se acerca a cero, por tanto: Cuando x → - ∞, entonces a x → 0
·
Si 0 < a < 1:
Ocurre lo contrario que en el caso anterior: Cuando x → + ∞, entontes a x → 0
Ejemplo de funciones
exponenciales:
1) Dominio:
El dominio de las funciones exponenciales es R.
Dom(f) =
Dom(g) = R.
2) Recorrido:
El
recorrido de las funciones exponenciales es (0, + ∞).
Im(f) =
Im(g) = (0, + ∞).
3) Puntos de
corte:
F (0) =
20 = 1, el punto de corte con el eje Y es (0, 1).
g(0) = - 20 =
1 , el punto de corte con el eje Y es (0, 1).
Las
funciones f(x) y g(x) no
cortan al eje X.
4) Crecimiento
y decrecimiento:
La
función f(x) es creciente ya
que a > 1.
La
función g(x) es decreciente ya
que 0 < a < 1.
5) Concavidad y
convexidad:
Las funciones f(x) y g(x) son
concavas.
6) Asíntotas:
Las
funciones f(x) y g(x) tienen
una asintota en el eje X.
7) Tabla de valores:
Funciones logarítmicas
Las funciones
logarítmicas son funciones del tipo:
Es la inversa de la función
exponencial f(x) = ax
Las características generales de
las funciones logarítmicas son:
1) El
dominio de una función logarítmica son los números reales positivos:
Dom(f) = (0. + ∞) .
2) Su
recorrido es R: Im(f) = R .
3) Son
funciones continuas.
4) Como loga1
= 0, la función siempre pasa por el punto (1, 0).
La función corta el eje X en el punto (1,
0) y no corta el eje Y.
5) Como logaa
= 1, la función siempre pasa por el punto (a, 1).
6) Si a
> 1 la función es creciente.
Si 0 < a < 1 la función es decreciente.
7) Son convexas
si a > 1.
Son concavas si 0 < a < 1 .
8) El
eje Y es una asíntota vertical.
·
Si a > 1:
Cuando x → 0 +, entonces log a x → - ∞
·
Si 0 < a < 1 :
Cuando x → 0 + , entonces log a x → + ∞
Ejemplo de funciones logarítmicas:
1) Dominio:
El dominio de las funciones logarítmicas es (0, + ∞).
Dom(f) = Dom(g) = (0, + ∞). 2) Recorrido:
El recorrido de las funciones logarítmicas es R.
Im(f) = Im(g) = R.
3) Puntos de corte:
f(1) = log21 = 0 , el
punto de corte con el eje X es (1, 0).
g(1) = log1/21 = 0 , el punto de
corte con el eje X es (1, 0).
La
funciones f(x) y g(x) no
cortan al eje Y.
3) Crecimiento y decrecimiento:
La función f(x) es creciente ya
que a > 1.
La función g(x) es decreciente ya
que 0 < a < 1.
4) Concavidad y convexidad:
La función f(x) es
convexa ya que a > 1.
La función g(x) es concava ya
que 0 < a < 1.
5) Asíntotas:
Las
funciones f(x) y g(x) tienen
una asintota en el eje Y.
6) Tabla de valores:
Funciones trigonométricas
Una función
trigonométrica es aquella que da el valor de una razón
trigonométrica en función del ángulo.
Todas
las funciones trigonométricas son periódicas.
Tema visto en grado 10°. Repaso
Función
seno f(x) = senx
.
Función
coseno f(x) = cosx
Función
tangente f(x) = tanX
Función
cotangente f(x) = cotx
Función
secante f(x) = secX
Función
cosecante f(x) = cscx
Funciones especiales:
Función valor absoluto, mayor entero contenido, por tramos.
Valor absoluto de una
función: |f(x)|
La función |f(x)| cambia de signo
los resultados negativos de f(x); los resultados positivos
los deja iguales. Su gráfica no puede aparecer por debajo del eje OX.
El valor absoluto de una
función se define como:
Ejemplos del valor absoluto de una
función
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ACTIVIDADES Y ESTRATEGIAS:
Explicación presencial, apoyado en videos para que sean complementados
en casa y puedan afianzar los conceptos.
Usar el libro: para realizar los siguientes ejercicios que se asignen
en cada tema, realizarlos en el cuaderno.
Puntos de corte con los
ejes. Signo de una función.
Realizar los ejercicios página 35. #3, 4. Y la evaluación de
aprendizaje: b, g
SIMETRÍA.
Realizar los ejercicios página 37; # 1, 5.b, 5.g, 5.h.
FUNCIONES POLINÓMICAS.
Realizar los ejercicios página 41; # 1, 6, Evaluación de aprendizaje
-i. a y b
FUNCIONES RACIONALES.
Realizar los ejercicios página 44; # 1, 2b, 2e, 2L, 5, 9.a, actividad
de educación para la sexualidad y la ciudadanía.
Funciones trascendentes:
Función exponencial, logarítmicas
Realizar los ejercicios página 48; 2, 6, 8,9
Funciones trigonométricas
Realizar los ejercicios página 63; 2, 3.
FUNCIONES ESPECIALES.
Función definida a trozos
Realizar los ejercicios página 50; 1. a, 1.b.
Función valor absoluto y parte entera.
Realizar los ejercicios página 53; 1. a, 1.b, 1.k, 2.
Para reforzar los temas vistos realizar los ejercicios de la página
68; 3, 5, 6, 7, 10.
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RECURSOS MATERIALES:
Guías didácticas
Libro virtual
videos.
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EVALUACIÓN:
Se realizará la revisión de los talleres trabajados.
Evaluaciones para revisar los conceptos si fueron comprendidos y
aprendidos.
Responder las siguientes preguntas a los temas trabajados:
¿Qué dificultades encontró?
¿Qué acciones de mejoramiento debo realizar?
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