MATEMÁTICAS GRADO 11°1- 11°2- 11°3

Este sera un medio por el cual podremos compartir las actividades que deben realizar.

A continuacón tienen libro guia con el cual pueden tener la teoria y algunos ejemplos resueltos.

https://tecevolucion.files.wordpress.com/2018/01/matematicas-11c2ba-vamos-a-aprender.pdf

UNIDAD DIDÁCTICA DE MATEMÁTICAS - GRADO ||°

TEMA: FUNCIONES Conocimientos previos: Conjuntos numéricos, números reales y la recta real, desigualdades, intervalos, inecuaciones, valor absoluto, solución de ecuaciones lineales y cuadráticas, factorización, función, dominio, rango, representación grafica en el plano cartesiano. Serán trabajados en un tiempo de seis semanas. Trabajados así: Temas serán trabajados por sesiones, una sesión con un tiempo de 4 horas por semana. https://tecevolucion.files.wordpress.com/2018/01/matematicas-11c2ba-vamos-a-aprender.pdf Usaremos ese libro para resolver los talleres y revisar la teoría. Son los mismos que están en la institución. Algunos ejemplos fueron tomados de la siguiente página, en ella encontraras mas ejemplos y temas para complementar. http://calculo.cc/temas/temas_bachillerato/primero_ciencias_sociales/funciones/ind_funciones.html

OBJETIVOS: Reconocer la importancia del concepto de función dentro de la matemática y su utilización para modelar situaciones de la vida diaria. Analizar las relaciones y propiedades entre las expresiones algebraicas de las gráficas de algunas funciones. Reconocer las propiedades de diferentes tipos de funciones Realizar operaciones entre funciones y construir gráficas.

CONTENIDOS DE APRENDIZAJE: Se tiene en cuenta los temas trabajados en el primer periodo que son aplicados en todos los temas de esta unidad, también los temas de años anteriores como son: factorización, operaciones entre los números reales como suma, diferencia, multiplicación, división, potenciación y radicación. Para tener una comprensión de los temas se desarrollarán las explicaciones pertinentes y se apoyara en talleres para una ejercitación de las temáticas. Se complementan con videos los cuales serán una manera de complementar las explicaciones. La actitud frente al trabajo en clase será tenidos presentes al momento de   evaluar la asignatura. Mostrar responsabilidad y respeto. Colaborar entre los compañeros que presentes dificultades y preguntar en las clases para aclarar dudas y que sirva de apoyo para todo el grupo. Actuar de manera honesta en la presentación de trabajos y evaluaciones. Entregarán los ejercicios que sean asignados, los demás serán de ejercitación. LAS FUNCIONES REALES: (sección 1 y 2- 4 horas semanales, total 8 horas) Los siguientes videos apoyan la teoría descrita a continuación. https://www.youtube.com/watch?v=AoZpzAoC1Qg,  https://www.youtube.com/watch?v=4cP5oXkv7BM función lineal explicación de un ejercicio. https://www.youtube.com/watch?v=A7OrJ8IlIeE, función cuadrática. Puntos de corte con los ejes. Signo de una función. Apoyarse en el libro pagina 34, para la teoría. Los puntos de corte de una función f con el eje x, se realiza hallando f(x) = 0 y el unto de corte con el eje y, se realiza halando f(0) EJEMPLO: Determina los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones: a) y = 2x - 1         b) y = 5 - x Signo de una función o intervalos de signo constante Para representar gráficamente una función es útil saber en qué intervalos su gráfica está por encima o por debajo del eje X. •   Si la gráfica va por encima:     f(x) > 0 •   Si va por debajo:                  f(x) < 0 Para ello, se deben hallar los puntos de corte de la función con el eje X y los puntos de discontinuidad. Después se estudia el signo de la función en los distintos intervalos en que ha quedado dividido dicho eje. Ejemplo de signo de una función Hallar los puntos de corte con los ejes y el signo de la función:              Corte con el eje X: El punto de corte con el eje X es:     (2 , 0) x-5 no puede ser cero. En x=5 es una discontinuidad. Corte con el eje Y: El punto de corte con el eje Y es:     (0 , 2/5) Signo de f(x): Calculamos las raíces del numerador y del denominador:     x - 2 = 0     ⇔     x = 2    x - 5 = 0     ⇔     x = 5 Estudiamos el signo de la función en los intervalos:      (-∞ , 2)   ,   (2 , 5)   ,   (5 , ∞) •   (-∞ , 2):     x = 0     ⇒     x - 2 = - 2 < 0                                          x - 5 = - 5 < 0 •   (2 , 5):     x = 3     ⇒     x - 2 = 3 - 2 = 1 > 0                                         x - 5 = 3 - 5 = - 2 < 0 •   (5 , ∞):     x = 6     ⇒     x - 2 = 6 - 2 = 4 > 0                                          x - 5 = 6 - 5 = 1 > 0 (-∞ , 2) (2 , 5) (5 , ∞) x - 2 - + + x - 5 - - + f(x) + - + Observando la tabla se deduce que: •   f  está por encima del eje X en:   (-∞ , 2) ∪ (5 , ∞) •   f  está por debajo del eje X en:   (2 , 5) SIMETRÍA  Libro virtual: Página 36. https://www.youtube.com/watch?v=UlD9kTKo7c8. Ver el video explicativo. https://www.youtube.com/watch?v=kabnjBXPsWU. Ver el video explicativo. Funciones pares Una función   f   es simétrica respecto al eje de ordenadas (Y) si verifica que: Las funciones simétricas respecto al eje de ordenadas se denominan funciones pares. f(- x) = (- x)2 - 5 = x2 - 5 f(- x) = f(x) Por lo tanto se cumple la condición de función par.                 Funciones impares Una función   f   es simétrica respecto al origen de coordenadas si verifica que: Las funciones simétricas respecto al origen de coordenadas se denominan funciones impares. f(- x) = (- x)3 + 2·(- x) = - x3 - 2x = - (x3 + 2x) f(- x) = - f(x) Por lo tanto se cumple la condición de función impar. Función que no es par ni impar La función   f(x) = x2 - 3x   no es ni par ni impar, puesto que: f(- x) = (- x)2 - 3·(- x) = x2 + 3x , por lo tanto   f(- x) ≠ ± f(x) Funciones polinómicas Libro virtual página 38. Apoyarse en los ejemplos del libro, páginas 38;39. En la pagina 40 hay un ejemplo que lo pueden desarrollar aplicando GeoGebra, lo pueden descargar y usar. Para una mayor comprensión. Son aquellas definidas de la forma f(x) = Expresión algebraica en x. una regla determinada por expresiones como: Función polinómica: Constante, lineal, cuadrática, polinómica general.    La forma general de una función polinómica de grado n ∈ N es f(x) = a0 + a1x1+ a2x2+…+anxn,  con an≠0. Ejemplo: Función constante: y = f(x) = k, es un numero real fijo, esta función asigna a cada valor de x la misma imagen k.  Ejemplo:  f(x) siempre toma el valor de 2, por eso es una recta horizontal, mientras que los valores de x son todos los números reales.  Función lineal: , donde m y n son números reales fijos. Los números reales m es la pendiente de la recta y n es el intercepto con el eje y. RecErdar que para graficar la línea recta basta con hallar dos puntos. ejemplo Función cuadrática , Donde a, b, c son números reales y a diferente de cero. La gráfica es una parábola. Tiene forma de ∪ si a>0 y forma de ∩ si a<0. Una función cuadrática corta al eje de ordenadas (eje y) en el punto (0,c). Puede cortar al eje de abscisas en dos, uno o ningún punto, dependiendo del número de soluciones reales de la ecuación cuadrática asociada, ax2+bx+c = 0 El cociente permite localizar las abscisa del vértice de la parábola, es decir :     Toda función cuadrática presenta un extremo absoluto (máximo o mínimo) en Ejemplo El punto de corte con el eje de ordenadas es (0,−1). El vértice de la parábola también es (0,−1). Los puntos de corte con el eje de abscisas son (−1,0) y(1,0). Observad que las primeras coordenadas son x=−1 y x=1, que son las soluciones de la ecuación cuadrática x2-1=0 Problema 1 Hallar una función cuadrática, f, que corte al eje de abscisas en los puntos A=(1,0) y B=(2,0) y una función lineal, g, que pase por el punto B y por el punto de corte de f con el eje de ordenadas. La siguiente función cuadrática tiene los puntos de corte A y B: Corta al eje de ordenadas en el punto Para hallar una función lineal que pase por el punto B y el punto (0,2), sólo tenemos que sustituir las coordenadas de estos puntos en la forma general de la función y resolver el sistema: La solución del sistema es n=2n=2 y m=−1m=−1, así que se trata de la recta Gráficas: Problema 2 La forma canónica de una ecuación cuadrática es siendo (h,k)) el punto de su vértice. Hallar la forma canónica de la siguiente función: Los coeficientes son a=2, b=−8 y c=3 La primera coordenada del vértice es Calculamos la segunda coordenada: El vértice es (2,−5) Por tanto, la forma canónica es FUNCIONES POLINÓMICAS MAYOR QUE 2. Ejemplo Los puntos de corte con el eje de abscisas son (0,0) y (1,0). El punto de corte con el eje de ordenadas es (0,0). FUNCIONES RACIONALES. https://www.youtube.com/watch?v=4PWf27vLNQs. Ver video. Las funciones racionales son de la forma razón entre dos expresiones P(x)/q(x)  ejemplos para que las entiendas mejor. Una función es racional si: Cuando se hace la gráfica de una función racional es importante saber: §  ¿Qué se puede decir de los valores de la función cuando x se acerca a un cero del denominador? §  ¿Qué se puede decir de los valores de la función cuando x es grande y positiva o negativa? Asíntota vertical La recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de una función si f (x) –> ∞ o f (x) –> -∞ cuando x tiende a a. Asíntota horizontal La recta y = c es una asíntota horizontal de la gráfica de una función si f (x) –> c cuando x –> ∞ o cuando x  –> -∞ Funciones racionales (sección 3 y 4- 4 horas semanales, total 8 horas)          y = k/x Funciones trascendentes: (sección 5 y 6- 4 horas semanales, total 8 horas) Ver video para apoyarse https://www.youtube.com/watch?v=nZvC3einJWo Función exponencial, logarítmica, trigonométricas Funciones exponenciales Las funciones exponenciales son las funciones que tienen la variable independiente   x   en el exponente, es decir, son de la forma: Las características generales de las funciones exponenciales son: 1) El dominio de una función exponencial es R. 2) Su recorrido es (0, +∞). 3) Son funciones continuas. 4) Como   a0 = 1, la función siempre pasa por el punto (0, 1).     La función corta el eje Y en el punto (0, 1)   y no corta el eje X. 5) Como   a1 = a, la función siempre pasa por el punto (1, a). 6) Si   a > 1   la función es creciente. Si   0 < a < 1   la función es decreciente. Son siempre concavas. 8) El eje X es una asíntota horizontal. ·         Si a > 1: Al elevar un número mayor que 1 a cantidades negativas cada vez más grandes, el valor de la potencia se acerca a cero, por tanto: Cuando x → - ∞, entonces a x → 0 ·         Si 0 < a < 1: Ocurre lo contrario que en el caso anterior: Cuando x → + ∞, entontes a x → 0 Ejemplo de funciones exponenciales:  1) Dominio: El dominio de las funciones exponenciales es R. Dom(f) = Dom(g) = R. 2) Recorrido: El recorrido de las funciones exponenciales es (0, + ∞). Im(f) = Im(g) = (0, + ∞). 3) Puntos de corte: F (0) = 20 = 1, el punto de corte con el eje Y es (0, 1). g(0) = - 20 = 1  , el punto de corte con el eje Y es  (0, 1). Las funciones   f(x)   y   g(x)   no cortan al eje X. 4) Crecimiento y decrecimiento: La función   f(x)   es creciente ya que   a > 1. La función   g(x)   es decreciente ya que   0 < a < 1. 5) Concavidad y convexidad: Las funciones   f(x)   y   g(x)   son concavas. 6) Asíntotas: Las funciones   f(x)   y   g(x)   tienen una asintota en el eje X. 7) Tabla de valores: Ver video de la función logarítmicas. https://www.youtube.com/watch?v=C0vUje9Uduc Funciones logarítmicas Las funciones logarítmicas son funciones del tipo: Es la inversa de la función exponencial   f(x) = ax Las características generales de las funciones logarítmicas son: 1) El dominio de una función logarítmica son los números reales positivos:    Dom(f) = (0. + ∞) . 2) Su recorrido es R:    Im(f) = R . 3) Son funciones continuas. 4) Como   loga1 = 0, la función siempre pasa por el punto (1, 0). La función corta el eje X en el punto (1, 0)   y no corta el eje Y. 5) Como   logaa = 1, la función siempre pasa por el punto (a, 1). 6) Si   a > 1   la función es creciente. Si   0 < a < 1   la función es decreciente. 7) Son convexas si   a > 1. Son concavas si   0 < a < 1 . 8) El eje Y es una asíntota vertical. ·         Si a > 1: Cuando x → 0 +, entonces log a x → - ∞ ·         Si  0 < a < 1 : Cuando x → 0 + , entonces log a x → + ∞ Ejemplo de funciones logarítmicas: 1) Dominio: El dominio de las funciones logarítmicas es (0, + ∞). Dom(f) = Dom(g) = (0, + ∞). 2) Recorrido: El recorrido de las funciones logarítmicas es R. Im(f) = Im(g) = R. 3) Puntos de corte: f(1) = log21 = 0  ,   el punto de corte con el eje X es   (1, 0). g(1) = log1/21 = 0  ,   el punto de corte con el eje X es   (1, 0). La funciones   f(x)   y   g(x)   no cortan al eje Y. 3) Crecimiento y decrecimiento: La función   f(x)   es creciente ya que   a > 1. La función   g(x)   es decreciente ya que   0 < a < 1. 4) Concavidad y convexidad: La función   f(x)    es convexa ya que   a > 1. La función   g(x)   es concava ya que   0 < a < 1. 5) Asíntotas: Las funciones   f(x)   y   g(x)   tienen una asintota en el eje Y. 6) Tabla de valores: Funciones trigonométricas Una función trigonométrica es aquella que da el valor de una razón trigonométrica en función del ángulo. Las funciones trigonométricas son:   sen x ,    cos x ,    tg x ,    cotg x ,    sec x ,    cosec x Todas las funciones trigonométricas son periódicas. Tema visto en grado 10°. Repaso Función seno f(x) = senx . Función coseno f(x) = cosx Función tangente f(x) = tanX Función cotangente f(x) = cotx Función secante f(x) = secX Función cosecante f(x) = cscx Funciones especiales: Función valor absoluto, mayor entero contenido, por tramos. Valor absoluto de una función:   |f(x)| La función   |f(x)|   cambia de signo los resultados negativos de   f(x); los resultados positivos los deja iguales. Su gráfica no puede aparecer por debajo del eje OX. El valor absoluto de una función se define como: Ejemplos del valor absoluto de una función 1)   f(x) = | 3x - 2 | Dom(f) = R Im(f) = [0, +∞) Puntos de corte: Para   x = 0   sustituimos en: f (0) = - 3·0 + 2 = 2 El punto de corte es:(0, 2) Para que f(x) = 0 se tiene que: 3x - 2 = 0   →   x = 2/3 El punto de corte es:   (2/3, 0) 2)   f(x) = | x2 - 5x + 5 | Resolvemos la inecuación:   x2 - 5x + 5 ≥ 0       x2 - 5x + 5 = 0                    •   Intervalo A:   x = 0     ⇒     x2 - 5x + 5 = 5 > 0      •   Intervalo B:   x = 3     ⇒     x2 - 5x + 5 = 32 - 5·3 + 5 = - 1 < 0       •   Intervalo C:   x = 4     ⇒     x2 - 5x + 5 = 42 - 5·4 + 5 = 1 > 0 Por tanto, tendremos que x2 - 5x + 5 ≥ 0 en los intervalos A y C. Y será   x2 - 5x + 5 < 0 únicamente en el intervalo B. La función queda: Dom(f) = R Im(f) = [0, +∞) Puntos de corte: Para   x = 0   sustituimos en: f (0) = 02 - 5·0 + 5 = 5 El punto de corte es: (0, 5) Para que f(x) = 0 se tiene que: x2 - 5x + 5 = 0, es decir: Función parte entera de x Ver video https://www.youtube.com/watch?v=1QHFUQq72lE Parte entera de x:   función suelo entero La función parte entera de x o función suelo entero es la que asigna a cada número real  x  el entero más próximo, pero que sea menor o igual que  x. Se representa por Ent(x) , por medio de  ⌊x⌋  , o bien  [x]. Dom f = R   ,   Im f = Z La función parte entera se puede expresar como una función definida a trozos con infinitos tramos en los que la función es constante. Ent(x) = ⌊x⌋ = { n     si  x ∈ [n , n+1)     con n ∈ Z }  f (- 1) = Ent (- 1) = - 1 f (- 0,9) = Ent (- 0,9) = - 1 f (- 0,1) = Ent (- 0,1) = - 1 f (0,1) = Ent (0,1) = 0 f (0,9) = Ent (0,9) = 0 f (1) = Ent (1) = 1 f (1,1) = Ent (1,1) = 1 Representa la siguiente función con todas sus características:   y = Ent(x) + 3 = ⌊x⌋ + 3 f (- 1) = Ent (- 1) + 3 = - 1 + 3 = 2 f (- 0,9) = Ent (- 0,9) + 3 = - 1 + 3 = 2 f (- 0,1) = Ent (- 0,1) + 3 = - 1 + 3 = 2 f (0,1) = Ent (0,1) + 3 = 0 + 3 = 3 f (0,9) = Ent(0,9) + 3 = 0 + 3 = 3 f (1) = Ent(1) + 3 = 1 + 3 = 4 f (1,1) = Ent(1,1) + 3 = 1 + 3 = 4 Dom(f) = R Im(f) = Z Ent(x) + 3 = {n + 3        si x ∈ [n, n+1)     con n ∈ Z} Puntos de corte: •   Para   x = 0   tenemos que   f(0) = 3   ⇒   El punto de corte es   (0, 3) •   Para que    f(x) = 0   ⇒   Ent(x) + 3 = 0   ⇒   Ent(x) = - 3   ⇒   Los puntos de corte son todos los puntos del intervalo   [- 3, -2) . Monotonía: La función parte entera siempre toma valores constantes, por lo tanto, no es creciente ni decreciente. Máximos y mínimos: No tiene máximos ni mínimos. Representa la siguiente función con todas sus características:   y = Ent(x/2) = ⌊x/2⌋ f (- 1) = Ent (- 0.5) = - 1 f (- 0,8) = Ent (- 0,4) = - 1 f (- 0,2) = Ent (- 0,1) = - 1 f (0,2) = Ent (0,1) = 0 f (0,8) = Ent(0,4) = 0 f (1) = Ent(0,5) = 0 f (3,6) = Ent(1,8) = 1 Dom(f) = R Im(f) = Z Ent(x/2) = { n        si  x/2 ∈ [n , n+2)     con n ∈ Z } Puntos de corte: •   Para   x = 0   tenemos que   f(0) = 0   ⇒   El punto de corte es   (0, 0) •   Para que    f(x) = 0   ⇒   Ent(x/2) = 0   ⇒   Los puntos de corte son todos los puntos del intervalo [0, 2). Monotonía: La función parte entera siempre toma valores constantes, por lo tanto no es creciente ni decreciente. Máximos y mínimos: No tiene máximos ni mínimos.

ACTIVIDADES Y ESTRATEGIAS: Explicación presencial, apoyado en videos para que sean complementados en casa y puedan afianzar los conceptos. Usar el libro: para realizar los siguientes ejercicios que se asignen en cada tema, realizarlos en el cuaderno. https://tecevolucion.files.wordpress.com/2018/01/matematicas-11c2ba-vamos-a-aprender.pdf Puntos de corte con los ejes. Signo de una función. Realizar los ejercicios página 35. #3, 4. Y la evaluación de aprendizaje: b, g SIMETRÍA. Realizar los ejercicios página 37; # 1, 5.b, 5.g, 5.h. FUNCIONES POLINÓMICAS. Realizar los ejercicios página 41; # 1, 6, Evaluación de aprendizaje -i. a y b FUNCIONES RACIONALES. Realizar los ejercicios página 44; # 1, 2b, 2e, 2L, 5, 9.a, actividad de educación para la sexualidad y la ciudadanía.  Funciones trascendentes: Función exponencial, logarítmicas  Realizar los ejercicios página 48; 2, 6, 8,9 Funciones trigonométricas Realizar los ejercicios página 63; 2, 3. FUNCIONES ESPECIALES. Función definida a trozos Realizar los ejercicios página 50; 1. a, 1.b. Función valor absoluto y parte entera. Realizar los ejercicios página 53; 1. a, 1.b, 1.k, 2. Para reforzar los temas vistos realizar los ejercicios de la página 68; 3, 5, 6, 7, 10.

RECURSOS MATERIALES: Guías didácticas Libro virtual https://tecevolucion.files.wordpress.com/2018/01/matematicas-11c2ba-vamos-a-aprender.pdf videos. https://www.problemasyecuaciones.com/funciones/polinomica/problemas-resueltos-funcion-constante-lineal-cuadratica-cubica-cortes.html

EVALUACIÓN: Se realizará la revisión de los talleres trabajados. Evaluaciones para revisar los conceptos si fueron comprendidos y aprendidos. Responder las siguientes preguntas a los temas trabajados: ¿Qué dificultades encontró? ¿Qué acciones de mejoramiento debo realizar?